Question

5．已知抛物线y=ax²+bx+c经过O（0，0），A（4，0），B（3，$\sqrt{3}$）三点，连结AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）两个动点P、Q分别从O、A同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动．其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着线段AB向B点运动．设这两个动点运动的时间为t（秒）（0＜t≤2），△PQA的面积记为S．
①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；
③是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法，代入O，A，B，解方程可得a，b，c，进而得到抛物线的方程； 
（2）①过B作BE垂直于x轴，过点Q作QF⊥x轴交x轴于F，分别求出PA，QF的长，再由三角形的面积公式，化简即可得到所求； 
②由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及三角形PQA的形状； 
③存在，当点Q在AB上运动时，要使得△PQA是直角△，必须使∠PQA=90°．由直角三角形的性质即可得到所求t的值，以及P，Q的坐标．

解答 解：（1）抛物线y=ax²+bx+c经过O（0，0），A（4，0），B（3，$\sqrt{3}$）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{9a+3b+c=3}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，c=0，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x； 
（2）①过B作BE⊥x交x轴于E，则BE=$\sqrt{3}$，AE=1，AB=2，
由tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=$\sqrt{3}$得∠BAE=60°，
由题意QA=t，PA=4-t，
过点Q作QF⊥x轴交x轴于F，
则sin∠BAE=$\frac{QF}{AQ}$QFAQ，QF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
则S=$\frac{1}{2}$PA•QF=$\frac{1}{2}$（4-t）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\sqrt{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-2）²+$\sqrt{3}$，
②由=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-2）²+$\sqrt{3}$，由-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，可得当t=2时，S取得最大值$\sqrt{3}$； 
此时△PQA是等边三角形； 
③存在，当点Q在AB上运动时，
要使得△PQA是直角△，必须使∠PQA=90°． 
∴PA=2QA，
∴4-t=2t． 
∴t=$\frac{4}{3}$，
∴P（$\frac{4}{3}$，0），Q（$\frac{10}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查三角形的面积公式的运用，以及直角三角形的判断，注意运用二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．