Question

12．汶川县组织20辆汽车装运完A、B、C三种土特产共100吨到外地销售，按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题．

土特产品种	A	B	C
每辆汽车运载量（吨）	6	5	4
每吨土特产获利（百元）	12	16	10

（1）设装运A种土特产的车辆数为x辆，装运B种土特产的车辆数为y辆，填写下列表格，并求出y与x之间的函数关系式．

装运土特产的品种	A	B	C
汽车车辆（数）	x	y
装运的土特产数量（吨）	6x	5y

（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于5辆，请设计出一种装运方案，使此次销售获利最大，并求出最大利润的值．

Answer 1

分析 （1）根据装运A、B、C三种特产车共20辆，可表示出C种车辆数，再由每辆汽车需装载4吨特产可得装运的数量，由装运三种特产共100吨可列方程，进而表示出函数关系式；
（2）根据装运每种土特产的车辆都不少于5辆求出x的取值范围，由总利润等于A、B、C三种利润之和列出函数关系式，结合自变量取值范围求得最值情况．

解答 解：（1）根据题意，装运A种土特产的车辆数为x，装运B种土特产的车辆数为y，
那么装运C种土特产的车辆数为20-x-y，装载土特产的数量为4（20-x-y），
则有：6x+5y+4（20-x-y）=100
整理得：y=-2x+20；
完成表格如下：

装运土特产的品种	A	B	C
汽车车辆（数）	x	y	20-x-y
装运的土特产数量（吨）	6x	5y	4（20-x-y）

（2）由（1）知，装运A、B、C三种土特产的车辆数分别为x、-2x+20、x，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥5}\\{-2x+20≥5}\end{array}\right.$
解得：5≤x≤7.5，
设利润为W（百元）则：W=6x•12+5（-2x+20）•16+4x•10=-48x+1600，
∵k=-48＜0，
∴W的值随x的增大而减小，
要使利润W最大，则x=5，W最大=-48×5+1600=1360（百元）=13.6（万元）
答：当装运A种土特产5车，B种土特产10车，C种土特产5车时，获利最大，最大利润为13.6万元．

点评 本题主要考查一次函数的实际应用能力，关键在复杂的数量关系中理清并找到所需的数量，确定等量关系是列方程和函数解析式的关键所在．