Question

4．已知二次函数y=x²-2mx-2m²（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点，它的顶点在以AB为直径的圆上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设以AB为直径的圆与y轴交于C、D两点，求四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用根与系数的关系求出AB的长度，也就是圆的直径，根据顶点公式求出顶点的坐标得到圆的半径，然后根据直径是半径的2倍列式即可求出m的值，再把m的值代入二次函数解析式便不难求出函数解析式；
（2）设坐标原点为O，根据（1）中的结论，求出圆的半径，弦心距，半弦，然后利用勾股定理列式求出半弦长，弦CD的长等于半弦的2倍，S_{四边形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD．

解答 解：（1）设AB点的坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=2m，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-2m²，
∴AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{3}$|m|，
∵抛物线的顶点坐标为：（m，-3m²），且在以AB为直径的圆上，
∴AB=2×3m²，
∴2$\sqrt{3}$|m|=6m²，
∴m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=x²±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2}{3}$；
（2）根据（1）的结论，圆的半径为$\frac{1}{2}$×6m²=$\frac{1}{2}$×2=1，
弦CD的弦心距为|m|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴CD=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴S_{四边形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$AO•CD+$\frac{1}{2}$OB•CD=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题综合考查了二次函数与x轴的交点的个数的判断，根与系数关系的应用，以及圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，综合性较强，但难度不是很大仔细分析求解便不难解决．