Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD：y=-

1

2

x+m与直线AB交于点E，E点的横坐标为-

4

3

．
（1）求m的值；
（2）点P（t，0）在x轴上，作线段PD的垂直平分线交直线DE于M，交x轴与点F，过点M作x轴的平行线交直线AB于点N，设线段MN的长为d，当-6＜t＜8时，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接BP与BM，求当t为何值时∠PBM=45°，并直接写出此时点F的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，将点E的横坐标代入直线y=x+6中求得点E的纵坐标；然后将点E的坐标代入直线CD的解析式即可求得m的值；
（2）根据P点的坐标表示出点F的坐标，然后根据MN∥x轴表示出点M、N的坐标，从而求得函数的解析式；
（3）过点P作PG垂直于AB于点G，利用构建相似三角形△BPG∽△BMH，由相似三角形的对应边成比例来求t的值．

解答：解：（1）∵点E在直线y=x+6上，且E点的横坐标为-

4

3

，
∴y=-

4

3

+6=

14

3

，即E（-

4

3

，

14

3

）．
又∵点E也在直线y=-

1

2

x+m上，
∴

14

3

=-

1

2

×（-

4

3

）+m，
解得m=4，即m的值为4；

（2）由直线CD：y=-

1

2

x+4知，D（8，0）．
∵点P（t，0），点F是线段PD的中点，
∴F（

8+t

2

，0）．
又∵MF⊥PD，点M在直线CD上，
∴点M的横坐标与点F的横坐标都是

8+t

2

，则y_M=-

1

2

•

8+t

2

+4=-

t

4

．
∵MN∥x轴，且点N在直线y=x+6上，
∴y_N=y_M=-

t

4

=x_N+6，
解得x_N=-

t

4

+6，
∴MN=x_M-x_N=

8+t

2

-6+

t

4

=

3

4

t-2，即d=

3

4

t-2（-6＜t＜8）；

（3）如图，连接BP、BM．P作PG垂直于AB于点G．设MN交y轴于点H．
∵y=x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（-6，0），B（0，6），
∴OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴AG=PG=

2

2

（t+6）．
∵∠PBM=45°，
∴∠GBP=∠FBM．
又∵∠BGP=∠BHM=90°，
∴△BPG∽△BMH，
∴

BG

BH

=

PG

MH

，即

6 2 - 2 2 (t+6)

6- 8+t 4

=

2 2 (t+6)

8-t 2

，
解得t=0．   
则点P与原点O重合，
∴OF=

1

2

OD=4，
∴F（4，0）．

点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质等．注意（3）题中构建相似三角形的辅助线的作法．