Question

6．如图，海面上以点A为中心的4海里内有暗礁，在海面上点B处有一艘海监船，欲到C处去执行任务，若∠ABC=45°，∠ACB=37°，B，C两点相距10海里，如果这艘海监船沿BC直接航行，会有触礁的危险吗？请说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，证出△ABM是等腰直角三角形，得出AM=BM，设AM=BM=x海里，则CM=10-x（海里），在Rt△ACM中，由三角函数得出方程，解方程即可．

解答 解：如果这艘海监船沿BC直接航行，不会有触礁的危险；理由如下：
作AM⊥BC于M，如图所示：
∵∠ABC=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM=BM，设AM=BM=x海里，则CM=10-x（海里），
在Rt△ACM中，$\frac{AM}{CM}$=tan∠ACB=tan37°≈0.75，
∴$\frac{x}{10-x}=\frac{3}{4}$，
解得：x=$\frac{30}{7}$，
经检验，x=$\frac{30}{7}$是方程的根，
∴AM=$\frac{30}{7}$海里＞4海里，
∴如果这艘海监船沿BC直接航行，不会有触礁的危险．

点评 本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、解方程；熟练掌握解直角三角形，由三角函数得出方程是解决问题的关键．