Question

13．如图，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，点P是边AD的上一点，将△ABP沿着直线BP翻折，点A的对应点为点A′．若点A′到B点的距离等于它到CD边的距离，则AP=9-6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据折叠的性质得到A′B=AB=3，AP=A′P，当点A′到直线CD的距离等于A′B的长时，过点A′作EF⊥AD垂足为E，交BC于F．得到A′B=DE=CF=3=CD，根据勾股定理得到A′F=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，EA₁=3-2$\sqrt{2}$，得到AP=A′P=1-PE，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：∵将△ABP沿着直线BP翻折，点A的对应点为点A′，
∴A′B=AB=3，AP=A′P，
∴点A′到直线CD的距离等于A′B的长时，过点A′作EF⊥AD垂足为E，交BC于F．
∴A′B=DE=CF=3=CD，
在Rt△BFA′中，BF=1，BA′=3，
∴A′F=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，EA₁=3-2$\sqrt{2}$，
∵AE=1，
∴AP=A′P=1-PE，
∵A′P²=PE²+A′E²，
∴（1-PE）²=PE²+（3-2$\sqrt{2}$）²，
∴PE=6$\sqrt{2}$-8，
∴AP=9-6$\sqrt{2}$，
故答案为：9-6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．