Question

14．已知：关于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两根都为整数，求整数m的值；
（3）若方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），y是关于m的函数，且y=x₂-2x₁，求这个函数的解析式，并结合函数的图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，y≤2m．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用求根公式法解方程得到x₁=1，x₂=$\frac{2m+2}{m}$=1+$\frac{2}{m}$，然后利用有理数的整除性确定m的值；
（3）由（2）可知：x₁=1，x₂=1+$\frac{2}{m}$，代入y=x₂-2x₁，求得这个函数的解析式，画出这个函数与y=2m图象，根据交点坐标回答即可．

解答 （1）证明：△=b²-4ac=（3m+2）²-4m（2m+2）=（m+2）²，
∵m＞0，（m+2）²＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由求根公式得x₁=1，x₂=$\frac{2m+2}{m}$=1+$\frac{2}{m}$，
∵方程的两个根均为整数且m是整数，
∴1+$\frac{2}{m}$是整数，即$\frac{2}{m}$是整数，
而m＞0，
∴m=1或2．
（3）解：x₁=1，x₂=$\frac{2m+2}{m}$，代入y=x₂-2x₁=$\frac{2}{m}$在同一平面直角坐标系中分别画出y=$\frac{2}{m}$（m＞0）与y=2m（m＞0）的图象．

由图象可得，当m≥1时，y≤2m．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及解方程的方法．