Question

9．观察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$=1$\frac{1}{2}$
$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=1$\frac{1}{6}$
$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1$\frac{1}{12}$
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）$\sqrt{1+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}}$=1$\frac{1}{20}$
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$；
（3）利用上述规律计算：$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}$（仿照上式写出过程）

Answer 1

分析 （1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．

解答 解：（1）$\sqrt{1+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}}$=1$+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$=1$\frac{1}{20}$；故答案为：1$\frac{1}{20}$；
（2）$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$；故答案为：$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$；
（3）$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{{7}^{2}}+\frac{1}{{8}^{2}}}=1\frac{1}{56}$．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．