Question

3．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4cm，分别以B、C为圆心，以BD、CD为半径画弧，交边AB、AC于点E、F，则图中阴影部分的面积是（2$\sqrt{3}$+2-$\frac{3}{2}$π）cm²．

Answer 1

分析 首先计算出AD长，进而可得BD和DC长，然后利用三角形ABC的面积减去扇形BED和DFC的面积即可．

解答 解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2cm，
∴BD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$（cm），
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=CD=2cm，
∴BC=（2$\sqrt{3}$+2）cm，
∴S_阴影=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$+2）×2-$\frac{30×π×12}{360}$-$\frac{45π×4}{360}$=2$\sqrt{3}$+2-π-$\frac{π}{2}$=2$\sqrt{3}$+2-$\frac{3}{2}$π，
故答案为：（2$\sqrt{3}$+2-$\frac{3}{2}$π）．

点评 此题主要考查了扇形的面积计算，以及勾股定理，关键是正确计算出AD、BD、CD长．