Question

11．已知：如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE∥CB，交AB于点E，$\frac{AD}{DC}=\frac{1}{3}$，DE=6．
（1）求AB的长；
（2）求$\frac{{{S_{△ADE}}}}{{{S_{△BCD}}}}$．

Answer 1

分析 （1）由∠ABD=∠CBD，DE∥BC 可推得∠EDB=∠CBD，进而推出∠ABD=∠EDB，由此可得BE=DE=6，由DE∥BC 可得$\frac{AE}{EB}=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{3}$，进而证得AE=2，于是可得结论；
（2）△ADE看成以DE为底，高为h₁，△BCD看成以BC为底，高为h₂，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得$\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{AD}{DE}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，进而证得结论．

解答 解：（1）BD平∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠ABD=∠EDB，
∴BE=DE=6，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{6}=\frac{1}{3}$，
∴AE=2，
∴AB=AE+BE=8；

（2）△ADE看成以DE为底，高为h₁，△BCD看成以BC为底，高为h₂，
∵DE∥CB，
∴△AED～△ABC，
∴$\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{AD}{DE}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCD}}=\frac{\frac{1}{2}DE•{h}_{1}}{\frac{1}{2}BC•{h}_{2}}=\frac{1}{12}$．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．