Question

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=12cm，BC=15cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向B点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ=CD，需经过多少时间？为什么？

Answer 1

分析 设点P、Q运动时间为t秒，得出AP=tcm，CQ=2tcm，PD=12-t，当PQ∥CD且PQ=CD时，得出方程12-t=2t，求出即可；当PQ与CD不平行，PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，分别过点P、D作PM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，则MN=PD=12-t，得出方程$\frac{1}{2}$（3t-12）=3，求出即可．

解答 解：设点P、Q运动时间为t秒，
则AP=tcm，CQ=3tcm，
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD-AP=12-t，
如图1当PQ∥CD，且PQ=CD时，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴12-t=2t，
解得t=4s，即当t=4s时，PQ=CD；
当PQ与CD不平行，PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形．
如图2，分别过点P、D作PM⊥BC，DN⊥BC，
垂足分别为M、N，则MN=PD=12-t，
QM=CN=$\frac{1}{2}$（CQ-MN）=$\frac{1}{2}$（2t-12+t），
=$\frac{1}{2}$（3t-12），
∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵DN⊥BC，
∴∠BND=90°，
∴四边形ABND为矩形，
∴BN=AD=12，
∴QM=CN=BC-BN=15-12=3，
∴$\frac{1}{2}$（3t-12）=3，解得t=6．
综上，当t=4s或t=6时PQ=CD．

点评 本题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中．