Question

13．如图，直线x⊥直线y于点O，直线x⊥AB于点B，E是线段AB上一定点，D点为线段OB上的一动点（点D不与点O、B重合），CD⊥DE交直线y于点C，连接AC，∠BED、∠DCO的角平分线的交点为P．
（1）当∠OCD=60°，求∠BED的度数；
（2）当∠CDO=∠A时，有结论：①CD⊥AC，②EP∥AC，其中只有一个结论是正确的，请选择正确的结论，并说明理由；
（3）当点D在线段OB上运动时，问∠P的大小是否为定值？若是定值，求其值，并说明理由；若变化，求其变化范围．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义和三角形的内角和得到结论；
（2）根据平行线的性质得到结论；
（3）利用外角的性质和角平分线的性质求得∠P的大小等于45°是个定值．

解答 解：（1）∵直线x⊥直线y于点O，
∴∠COD=90°，∵∠OCD=60°，
∴∠CDO=30°，
∵∠CDE=90°，
∴∠EDB=60°，
∴∠BED=30°；

（2）①CD⊥AC正确，
由（1）证得；∠CDO=∠BED，
∵∠CDO=∠A，
∴∠BED=∠A，
∴AC∥DE，
∵ED⊥CD，
∴AC⊥CD，

（3）如图连接PD并延长PD，∵∠5=∠3-∠1，∠6=∠4-∠2，
∴∠5+∠6=∠3+∠4-（∠1+∠2），
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=$\frac{1}{2}$$∠BED+\frac{1}{2}∠DCO$
=$\frac{1}{2}$（∠BED+∠DCO）=$\frac{1}{2}$×90°=45°
∴∠5+∠6=45°，
∴∠EPC=45°是个定值．

点评 本题考查了，平行线的判定和性质，垂线的定义，三角形的内角和，辅助线的作法是关键．