Question

16．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．求证：∠ADC=∠BDF．

Answer 1

分析 由条件可知∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，可得到∠E=∠ADC，再结合条件可证明△ADC≌△CEB，得到BE=CD=BD，结合条件可证明△BEF≌△BDF，则有∠E=∠BDF=∠ADC，可得结论．

解答 证明：∵∠BCA=90°，
∴∠DCG+∠GCA=90°，
∵CG⊥AD，
∴∠GCA+∠CAG=90°，
∴∠DCG=∠CAG，
在△EBC和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠DCA}\\{BC=AC}\\{∠DCG=∠CAG}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（ASA），
∴BE=DC，∠E=∠ADC，
∵∠EBC=90°，∠ABC=45°，
∴∠EBF=∠DBF=45°，
∵BD=DC，
∴BE=BD，
在△EBF和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{∠EBF=∠DBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△DBF（SAS），
∴∠E=∠BDF，
∴∠ADC=∠BDF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．