Question

11．四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，∠A+∠C=180°，求证：DA=CD．

Answer 1

分析 首先过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由∠BAD+∠C=180°，得出∠FAD=∠C，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得．

解答 证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠FAD=∠C，
在RtCDE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠F=90°}\\{∠FAD=∠C}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴DA=DC．

点评 此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．