Question

如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．点P在直线CD上运动（点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上），若记∠DAP，∠APB，∠PBC分别为∠α，∠β，∠γ．
（1）当点P在线段CD上运动时，写出∠α，∠β，∠γ之间的关系并说出理由；
（2）如果点P在线段CD（或DC）的延长线上运动，探究∠α，∠β，∠γ之间的关系，并选择其中的一种情况说明理由．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）过点P作PE∥AD，如图1，由PE∥AD得∠α=∠APE，由AD∥BC得PE∥BC，则∠γ=∠BPE，所以∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；
（2）点P在线段CD的延长线上运动时，∠β=∠γ-∠α；点P在线段DC的延长线上运动时，∠β=∠α-∠γ．以点P在线段CD的延长线上运动为例说明：
如图2，根据平行线的性质由AD∥BC得∠PBC=∠1，根据三角形外角性质得∠1=∠PAD+∠APB，所以∠APB=∠PBC-∠PAD，即∠β=∠γ-∠α．

解答：解：（1）∠β=∠α+∠γ．理由如下：
过点P作PE∥AD，如图1，
∵PE∥AD，
∴∠α=∠APE，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠γ=∠BPE，
∴∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；
（2）点P在线段CD的延长线上运动时，∠β=∠γ-∠α；点P在线段DC的延长线上运动时，∠β=∠α-∠γ．
以点P在线段CD的延长线上运动为例说明：
如图2，
∵AD∥BC，
∴∠PBC=∠1，
而∠1=∠PAD+∠APB，
∴∠APB=∠PBC-∠PAD，
即∠β=∠γ-∠α．

点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．