Question

14．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，?AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）若是平行四边形，所以BD=12cm，则B0=DO=6cm，故有6-1t=2t，即可求得t值；
（2）若是菱形，则AC垂直于BD，即有AO²+BO²=AB²，故AB可求；
（3）根据四边形AECF是菱形，求得BO⊥AC，OE=OF，根据平行四边形的性质得到BO=OD，求得BE=DF，列方程到底BE=DF=2，求得EF=8，于是得到结论．

解答 解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
∴AO=OC，EO=OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=OD=6cm，
∴EO=6-t，OF=2t，
∴6-t=2t，
∴t=2s，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；

（2）若四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO²+BO²=AB²，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$；
∴当AB为3$\sqrt{5}$时，?AECF是菱形；
（3）解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
∴AO=OC，EO=OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=OD=6cm，
∴EO=6-t，OF=2t，
∴6-t=2t，
∴t=2s，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；

（2）若四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO²+BO²=AB²，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$；
∴当AB为3$\sqrt{5}$时，?AECF是菱形；

（3）∵四边形AECF是菱形，
∴BO⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∴BE=DF，
∴t=6-2t，
∴t=2，
∴BE=DF=2，
∴EF=8，
∴菱形AECF的面积=$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}×$6×8=24．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质和菱形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积的计算，考查学生综合运用数学知识的能力．