Question

4．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=-$\frac{8}{x}$的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
（3）直接写出kx+b+$\frac{8}{x}$＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）先求出A，B两点坐标，将其代入一次函数关系式即可；
（2）根据一次函数与y轴的交点为（0，2），则△AOC和△BOC的底边长为2，两三角形的高分别为|x₁|和|x₂|，从而可求得其面积．
（3）由函数图象得出直线在双曲线上方时x的取值范围．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=-2，y₂=-2，
把x₁=y₂=-2分别代入y=-$\frac{8}{x}$得y₁=x₂=4，
∴A（-2，4），B（4，-2）．
把A（-2，4）和B（4，-2）分别代入y=kx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{4k+b=-2}\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴一次函数的解析式为y=-x+2．

（2）如图，

∵y=-x+2与y轴交点为C（0，2）
∴OC=2，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC
=$\frac{1}{2}$×OC×|x₁|+$\frac{1}{2}$×OC×|x₂|
=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4
=6；

（3）由函数图象可得当x＜-2或0＜x＜4时，kx+b+$\frac{8}{x}$＞0．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是要把△AOB分割为两个小三角形，进而再求解．