Question

2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，延长AB至E，使AE=AC，过E作EF⊥AC于F，EF交BC于G．
（1）求证：AG平分∠BAC；
（2）若∠E=40°，求∠AGB的度数．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABC≌△AFE，推出AB=AF，再证明Rt△AGF≌Rt△AGB，推出∠GAF=∠GAB，即可解决问题．
（2）在Rt△BEG中，∠BGE=90°-∠E=50°，推出∠BGF=130°，由Rt△AGF≌Rt△AGB，推出∠AGB=∠AGF=$\frac{1}{2}$∠BGF即可解决问题．

解答 （1）证明：∵EF⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠EAF}\\{∠ABC=∠AFE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AFE，
∴AB=AF，
在Rt△AGF和Rt△AGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AF=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGF≌Rt△AGB，
∴∠GAF=∠GAB，
∴AG平分∠BAC．

（2）在Rt△BEG中，∠BGE=90°-∠E=50°，
∴∠BGF=130°，
∵Rt△AGF≌Rt△AGB，
∴∠AGB=∠AGF=$\frac{1}{2}$∠BGF=65°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．