Question

12．如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合）．设AB=a，AD=b，BE=x．用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，将纸片ABEF沿AB翻折，再平移拼接在梯形ECDF的下方，那么能否做到纸片ABEF的一边与EC重合，另一边落在DC的延长线上，能（用“能”或“不能”填空）．若填“能”，我们把拼接后在下方的四边形记作ECB′E′，当$\frac{x}{b}$的值为$\frac{2}{3}$或$\frac{1}{3}$时，直线E′E经过原矩形的一个顶点，若填“不能”，请说明理由：不能．

Answer 1

分析 当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{EC}{E′B′}$=$\frac{DC}{DB′}$，代入数据监控得到结论；当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）根据梯形中位线的性质得到CE=$\frac{1}{2}$（AD+E′B′），于是得到结论．

解答 解：能；
当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）
∵EC∥E′B′，
∴$\frac{EC}{E′B′}$=$\frac{DC}{DB′}$，
由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，
得$\frac{b-x}{x}$=$\frac{a}{2a}$，
∴x：b=$\frac{2}{3}$，
当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$（AD+E′B′），
即b-x=$\frac{1}{2}$（b+x），
∴x：b=$\frac{1}{3}$．
∴当$\frac{x}{b}$的值为$\frac{2}{3}$或$\frac{1}{3}$时，直线E′E经过原矩形的一个顶点．
故答案为：能，$\frac{2}{3}$或$\frac{1}{3}$，不能．

点评 本题主要考查了梯形面积的计算方法以及对于翻折、旋转一类问题的求解，能够熟练掌握这类问题的解题思想，并能够熟练求解是解题的关键．