Question

9．已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，B0平分∠ABC交AC于点O，求证：OD平分∠ADC．

Answer 1

分析 由SSS证明△ABC≌△ADC，得出∠ABC=∠ADC，∠BCO=∠DCO，由SAS证明△BCO≌△DCO，得出∠OBC=∠ODC，再由角平分线的定义得出∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，因此∠ODC=$\frac{1}{2}$∠ADC，即可得出结论．

解答 证明：在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{CB=CD}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，∠BCO=∠DCO，
在△BCO和△DCO中，$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}&{\;}\\{∠BCO=∠DCO}&{\;}\\{OC=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
∵B0平分∠ABC，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ODC=$\frac{1}{2}$∠ADC，
即OD平分∠ADC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．