Question

4．如图，△ABC为等边三角形，P为三角形外一点，且∠BAC+∠BPC=180°，求证：PA=PB+PC．

Answer 1

分析 延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证△CPE为等边三角形得CP═PE=CE，再证△ACP≌△BCE得AP=BE，可得PA=PB+PC．

解答 解：如图，延长BP至E，使PE=PC，连接CE，

∵∠BAC+∠BPC=180°，且∠BAC=60°，
∴∠BPC=120°，
∴∠CPE=60°，又PE=PC，
∴△CPE为等边三角形，
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即：∠ACP=∠BCE，
在△ACP和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCE}\\{PC=PE}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴PA=PB+PC．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过构建等边三角形为两三角形全等提供条件是关键．