Question

如图，点O是四边形AEBC外接圆的圆心，点O在AB上，点P在BA的延长线上，且∠PEA=∠ADE，CD⊥AB于点H，交⊙O于点D．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若D为劣弧

BE

的中点，且AH=16，BH=9，求EB的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）利用等腰三角形的性质得出，∠OAE=∠OEA，进而利用圆周角定理得出答案；
（2）首先得出△END≌△CNB（AAS），进而得出BE=DC，进而求出即可．

解答：（1）证明：连接OE，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
∵∠PAE=∠ADE=∠ABE，
∴∠PAE+∠OEA=∠ABE+∠OAE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠PEO=90°，
∴PE是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，
∵AH=16，BH=9，AB为⊙O的直径，
∴DH=12，
∵D是劣弧BE的中点，
∴∠CDB=∠DBE=∠EAD=∠BAD，
∴ND=NB，
在△END和△CNB中，

∠DEN=∠BCN ∠END=∠CNB DN=BN

，
∴△END≌△CNB（AAS），
∴EN=NC，
∴BE=DC，
∴DH=HC=12，
∴BE=DC=24．

点评：此题主要考查了切线的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△END≌△CNB是解题关键．