Question

11．如图所示．在?ABCD中．E、F分别是边AD、BC上的点，连接AF、BE交于点G：连接CE、DF交于点H，连接GH．
（1）当E、F分别是AD、BC的中点时，求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）试猜想，当AE与BF满足什么条件时．GH∥AD且GH=$\frac{1}{2}AD$．

Answer 1

分析 （1）可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据已知条件证得四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EG=BG，同理EH=CH，根据三角形的中位线定理得到②成立；不能证明四边形AFCE不是平行四边形，四边形不是BFDE是平行四边形，从而得出GF不平行EH，GE不平行FH，于是得到四边形EGFH不是平行四边形，①不成立．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=$\frac{1}{2}$AD，FC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE∥FC，AE=FC．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴GF∥EH．
同理可证：ED∥BF且ED=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴GE∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）当AE=BF时．GH∥AD且GH=$\frac{1}{2}AD$．
理由：连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=BF，
∴DE=CF，
∵AE∥BF，DE∥CF，
∴四边形ABFE是平行四边形，讨论四边形EFCD是平行四边形，
∴AG=FG，FH=DH，
GH=$\frac{1}{2}$AD，GH∥AD．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．