Question

16．如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 设AD=x，根据正方形的性质得AF=AB=EF=1，则FD=x-1，在根据相似多边形的性质，得到DF：AB=EF：AD，即（x-1）：1=1：x，然后解方程，即可得到AD的长．

解答 解：设AD=x，
∵四边形ABEF为正方形，
∴AF=AB=EF=1，
∴FD=x-1，
∵矩形ECDF与矩形ABCD相似，
∴DF：AB=EF：AD，
即（x-1）：1=1：x，
整理得x²-x-1=0，
解得x₁=$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∴AD的长为$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查了相似多边形的性质以及矩形的性质，解题时注意：相似多边形对应边的比叫做相似比；对应角相等；对应边的比相等；相似多边形面积的比等于相似比的平方．