Question

如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB=∠DEC=90°．AE=DE，AC、BD的交点为O．

  （1）求证：△AEC≌△DEB；

  （2）若∠ABC=∠DCB=90°，AB=2cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明略  （2）解：连结EO并延长EO交BC于点F，连结AD．

由（1），知AC=BD．∵∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠ABC+∠DCB=180°，AB∥DC，AB==CD，

∴四边形ABCD为平行四边形且矩形．

∴OA=OB=OC=OD，又∵BE=CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，

∴BF=FC，∠EFB=90°，∴OF=AB=×2=1，

∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC=60°，

在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，

∴BE=AB·cos30°=2×=，

在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠EBF=60°，

∴BF=BE·cos60°=×=，EF=BE·sin60°=×=，

∴OE=EF-OF=-1=，

∵AE=ED，OE=OE，AO=DO，∴△AOE≌△DOE，

∴S_△AOE=S_△DOE，

∴S_阴影=2S_△AOE =2×·EO·BF=2×××=（cm²）．