Question

13．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=α．
（1）如图①，OE平分∠AOD，∠EOF=90°，∠α=30°，求∠BOF的度数；
（2）如图②，∠DOE=$\frac{1}{3}$∠AOD，∠EOF=60°，∠α=30°，求∠BOF的度数；
（3）如图③，∠DOE=$\frac{1}{4}$∠AOD，∠EOF=45°，求$\frac{∠BOF}{∠AOC}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据∠AOC=α=30°，求得∠AOD的度数，再根据OE平分∠AOD，得到∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOD=75°，最后根据∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF进行计算即可；
（2）先根据∠AOC=α=30°，求得∠AOD的度数，再根据∠DOE=$\frac{1}{3}$∠AOD，得到∠AOE=$\frac{2}{3}$∠AOD=100°，最后根据∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF进行计算即可；
（3）先根据∠AOC=α，求得∠AOD=180°-∠AOC=180°-α，再根据∠DOE=$\frac{1}{4}$∠AOD，得到∠AOE=$\frac{3}{4}$∠AOD=135°-$\frac{3}{4}α$，最后根据∠EOF=45°，求得∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=$\frac{3}{4}$α，进而得到$\frac{∠BOF}{∠AOC}$=$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）如图①，∵∠AOC=α=30°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=150°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOD=75°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-75°-90°=15°；

（2）如图②，∵∠AOC=α=30°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=150°，
又∵∠DOE=$\frac{1}{3}$∠AOD，
∴∠AOE=$\frac{2}{3}$∠AOD=100°，
又∵∠EOF=60°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-100°-60°=20°；

（3）如图③，∵∠AOC=α，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-α，
又∵∠DOE=$\frac{1}{4}$∠AOD，
∴∠AOE=$\frac{3}{4}$∠AOD=$\frac{3}{4}$（180°-α）=135°-$\frac{3}{4}α$，
又∵∠EOF=45°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-（135°-$\frac{3}{4}α$）-45°=$\frac{3}{4}$α，
∴$\frac{∠BOF}{∠AOC}$=$\frac{\frac{3}{4}α}{α}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了邻补角的定义以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．解题时注意：图中两直线相交于点O，则存在多个平角．