Question

如图，平行四边形ABCD中，AC=AB，延长AC到点P，使CP=AC，BD交AC于E．
（1）求证：BP=2BE；
（2）求证：∠DEC=∠PBA．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由平行四边形ABCD中，AC=AB，CP=AC，易证得△BCD≌△BCP（SAS），然后由全等三角形的对应边相等，证得BP=BD=2BE；
（2）由全等三角形的对应角相等，可得∠P=∠BDC，继而证得∠P=∠ABD，则可证得结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵AC=AB，CP=AC，
∴CP=CD，∠ACB=∠ABC，
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD，∠BCP=∠ABC+∠BAC，
∴∠BCD=∠BCP，
在△BCD和△BCP中，

BC=BC ∠BCD=∠BCP CD=CP

，
∴△BCD≌△BCP（SAS），
∴BP=BD=2BE；

（2）∵△BCD≌△BCP，
∴∠P=∠BDC，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∴∠P=∠ABD，
∴∠DEC=∠P+∠EBP=∠ABD+∠EBP=∠PBA．

点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．