Question

如图，四边形ABCD为正方形，AP=AC，BP∥AC，AP交BC于E，求证：CE=CP．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：把△ABP顺时针旋转90°得到△ADG，从而可得B、G、D三点在同一条直线上，然后可以证明△AGD与△CGD全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，所以△AGC为等边三角形，根据等边三角形的性质可以推出∠CEP=∠CPE=75°，从而得解．

解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥AB，AD=AB=CD，∠ACB=45°，
∵BP∥AC，
∴∠CBP=∠CB=45°，∠ABP=90°+45°=135°，
把△ABP绕A旋转90°到△ADG，连接CG，如图，

则△ABP≌△ADG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDA=∠CDB=45°，
所以AG=AP，∠ADG=∠ABP=135°，∠PAB=∠DAG，
则B、D、G三点共线，
∴∠CDG=∠ADG=135°，
在△ADG和△CDG中，

AD=CD ∠ADG=∠CDG DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG=CG=AP=AC，
∴△AGC是等边三角形，
∵AC⊥BD，
∴∠CGD=∠AGD=30°，
∴∠GAD=∠BAP=60°-45°=15°，
∴∠CAP=45°-15°=30°，
∵AC=AP，
∴∠ACP=∠APC=75°，
∴∠ECP=75°-45°=30°，
∴∠CEP=180°-30°-75°=75°，
∴∠CPE=∠CEP，
∴CE=CP．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质的应用，根据旋转得出全等图形是解此题的关键．