Question

20．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=$\frac{3}{2}$．
（1）求k的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象恰好经过DC上一点E，且DE：EC=2：1，求直线AE的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若直线AE与x轴交于点N，与y轴交于点M，请你探索线段AM与线段NE的大小关系，写出你的结论并说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OAB中，利用三角函数的定义，可求得AB的长，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）由平移的性质可求得E点纵坐标，代入反比例函数解析式可求得E点坐标，利用待定系数法可求得直线AE的表达式；
（3）延长DA交y轴于点F，由（2）可求得M、N的坐标，由A点坐标可求得AF、OF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△CEN中可求得EN，可得出结论．

解答 解：
（1）在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{OB}$=$\frac{3}{2}$，
∴AB=3，
∴A点坐标为（2，3），
∵A点在反比例函数图象上，
∴k=xy=6；
（2）∵DC由AB平移得到，DE：EC=2：1，
∴CE=1，即E点的纵坐标为1，
∵E点在反比例函数y=$\frac{6}{x}$上，
∴E点坐标为（6，1），
设直线AE的表达式为y=ax+b，把A、E两点的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{6a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AE的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（3）结论：AM=NE．
理由如下：
在表达式y=-$\frac{1}{2}$x+4中，令y=0可得x=8，令x=0可得y=4，
∴M（0，4），N（8，0），
如图，延长DA交y轴于点F，则AF⊥OM，且AF=2，OF=3，

∴MF=OM-OF=1，
在Rt△AMF中，由勾股定理可得AM=$\sqrt{A{F}^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵CN=ON-OC=8-6=2，EC=1，
∴在Rt△CEN中，由勾股定理可得EN=$\sqrt{C{N}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AM=NE．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角函数的定义、坐标的意义及勾股定理等．在（1）中注意三角函数的应用，在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中构造Rt△AFM是解题的关键．本题考查知识点较为基础，属于基础题，难度不大．