Question

5．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③$\frac{DG}{GC}$=$\frac{GO}{CE}$；④（a-b）²•S_△EFO=b²•S_△DGO．其中结论正确的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE；由△DGO与△DCE相似即可判定③错误，证明△EFO∽△DGO，即可求得④正确；即可得出结论．

解答 解：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，CD∥EF，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正确；
②延长BG交DE于点H，如图所示：
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正确；
③∵四边形GCEF是正方形，
∴GF∥CE，
∴$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，
$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$是错误的．
故③错误；
④∵DC∥EF，
∴△EFO∽△DGO，
∴$\frac{{S}_{△EFO}}{{S}_{△DGO}}$=（$\frac{EF}{DG}$）²=（$\frac{b}{a-b}$）²=$\frac{{b}^{2}}{（a-b）^{2}}$，
∴（a-b）²•S_△EFO=b²•S_△DGO．
故④正确；
正确的有3个，故选：B．

点评 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握三角形全等、相似的判定和性质是解题的关键．