Question

10．某服装店购进10套A服装和20套B服装的费用为2000元，20套A服装和10套B服装的费用为2200元．
（1）求每套A服装和B服装的进价；
（2）该商店计划一次购进两种款式的服装共100套，其中A款进货量不少于65套，进货费用不超过7500元，计划A每套售价120元，B每套售价90元，设购进A款x套，这100套的销售总利润为y元．
①求y与x的函数关系式；
②该商店购进A、B各多少套，才能使销售利润最大？
（3）若实际进货时，厂家只对A款出厂价上调m（0＜m＜20）元，若商店保持A、B两种的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，直接设计出使这100套服装销售总利润最大的进货方案．

Answer 1

分析 （1）设每套A服装的进价为a元，B服装的进价为b元，根据给定条件“某服装店购进10套A服装和20套B服装的费用为2000元，20套A服装和10套B服装的费用为2200元”可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）①根据购进A款x套，找出购进B款（100-x）套，根据A、B间的关系可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再由销售利润=A型的利润+B型的利润，即可得出y关于x的函数关系式；②结合一次函数的性质以及x的取值范围即可解决最值问题；
（3）结合（2）找出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质分10-m＜0、10-m=0和10-m＞0来解决最值问题．

解答 解：（1）设每套A服装的进价为a元，B服装的进价为b元，
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{10a+20b=2000}\\{20a+10b=2200}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=80}\\{b=60}\end{array}\right.$．
答：每套A服装的进价为80元，B服装的进价为60元；
（2）①∵购进A款服装x套，则购进B款服装（100-x）套，
∵进货费用不超过7500元，
∴80x+60（100-x）≤7500，
∴x≤75，
∵A款进货量不少于65套，
∴65≤x≤75，
∴y=（120-80）x+（90-60）（100-x）=0x+3000（65≤x≤75，且x为正整数）．
②∵在y=30x+3000中，k=10＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=75时，y取最大值，此时100-x=25．
故商店购进75套A服装和25套B服装才能使销售利润最大；
（3）由已知得：y=（120-80-m）x+（90-60）（100-x）=（10-m）x+3000，
当m＜10时，10-m＞0，
则购进75套A服装和25套B服装销售利润最大；
当m=10时，10-m=0，
则A、B两种服装随意搭配（65≤A种服装≤75），销售利润一样多；
当m＞10时，10-m∠0，
则购进商店购进65套A服装和35套B服装才能使销售利润最大．

点评 本题考查了一次函数的性质以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于a、b的二元一次方程组；（2）根据数量关系列出y关于x的函数关系式；（3）分10-m的正负来解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．