Question

5．如图，等腰直角△CAB中，CA=CB，M、N在直线AB上，且∠MCN=135°，BM=8，AN=10，则MN=2$\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 设AB=x，根据等腰三角形性质可得AC=BC=AB•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x、∠CAM=∠NBC=135°、∠M+∠ACM=45°，再根据∠MCN=135°可得∠ACM+∠NCB=45°，即可知∠M=∠BCN，从而证得△ACM∽△BNC，由$\frac{AC}{BN}=\frac{AM}{BC}$可得关于x的方程，解方程求得x的值，最后由MN=BM+AN-AB可求得答案．

解答 解：设AB=x，
∵△CAB为等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴AC=BC=AB•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，∠CAM=∠NBC=135°，∠M+∠ACM=45°，
又∵∠MCN=135°，且∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=45°，
∴∠M=∠BCN，
∴△ACM∽△BNC，
∴$\frac{AC}{BN}=\frac{AM}{BC}$，
∵BM=8，AN=10，
∴AM=8-x，BN=10-x，
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{10-x}=\frac{8-x}{\frac{\sqrt{2}}{2}x}$，即x²-36x+160=0，
解得：x₁=18-2$\sqrt{41}$，x₂=18+2$\sqrt{41}$（舍），
∴MN=BM+AN-AB=8+10-（18-2$\sqrt{41}$）=2$\sqrt{41}$，
故答案为：2$\sqrt{41}$．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求得AB的长是解题的关键．