Question

17．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=8（如图），如果点E在对角线AC上，且DE=4．
（1）求AE的长；
（2）设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{c}$，试用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$表示下列向量：$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$．

Answer 1

分析 （1）分两种情形，当点E在OA上时，当点E′在OC上时，分别求出AE和AE′即可．
（2）根据向量的定义计算即可．

解答 解：（1）如图，当点E在OA上时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=4，OD=OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
EO=$\sqrt{D{E}^{2}-D{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AE=OA-EO=4-$\sqrt{7}$，
当点E′在OC上时，AE′=OA+OE′=4+$\sqrt{7}$，
∴AE的长为4+$\sqrt{7}$和4-$\sqrt{7}$．

（2）∵$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）．
∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+$\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查菱形的性质、平面向量等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，直径平面向量的定义，属于中考常考题型．