题目内容
8．
如图．在平面直角坐标系中．抛物线y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P从B出发．沿射线BA方向以每秒1个单位的速度匀速运动．过点P作PQ⊥x轴．直线PQ分别与直线BC、抛物线交于点Q、K．（1）求线段KQ的长度d与点P运动时间t的函数解析式．
（2）求△CKQ的面积S关于点P运动时间t的函数解析式．
分析 （1）求得直线BC的解析式，根据题意得到Q（t，-$\frac{1}{2}$t+2），K（t，-$\frac{1}{4}$t2+$\frac{1}{2}t$+2），然后分两种情况讨论即可求得；
（2）根据题意得到C到直线PQ的距离，然后根据两种情况讨论即可求得．
解答 解：y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x+2，当x=0时，解得：y=2，所以OC=2；
当y=0时，0=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x+2，解得：x1=-2，x2=4，所以：OA=2，OB=4，
所以：A（-2，0），B（4，0），C（0，2），
（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，
代入B、C的坐标得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵PQ⊥x轴，
运动t秒后，Q（t，-$\frac{1}{2}$t+2），K（t，-$\frac{1}{4}$t2+$\frac{1}{2}t$+2），
∴当0≤t＜4时，d=（-$\frac{1}{4}$t2+$\frac{1}{2}t$+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-$\frac{1}{4}$t2+t；
当t≥4时，d=（-$\frac{1}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{4}$t2+$\frac{1}{2}t$+2）=$\frac{1}{4}$t2-t；
故线段KQ的长度d与点P运动时间t的函数解析式为d=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{t}^{2}+t（0≤t＜4）}\\{{\frac{1}{4}t}^{2}-t（t≥4）}\end{array}\right.$；
（2）当0≤t＜4时，C到直线PQ的距离为（4-t），
∴S=d（4-t）=（-$\frac{1}{4}$t2+t）（4-t）=$\frac{1}{4}$t3-2t2+4t；
当t≥4时，C到直线PQ的距离为（t-4），
S=d（t-4）=（-$\frac{1}{4}$t2+t）（t-4）=-$\frac{1}{4}$t3+2t2-4t；
故△CKQ的面积S关于点P运动时间t的函数解析式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{3}-2{t}^{2}+4t（0≤t＜4）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{3}+2{t}^{2}-4t（t≥4）}\end{array}\right.$．
点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，分类讨论思想的运用是解题的关键．
如图，在平面直角坐标系中，点A是y轴上的一点，点B与点C在x轴上且关于原点对称，若点A（0，3），点B（-4，0）．
如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交AC于F，求证：AF=$\frac{1}{3}$AC．
如图，在锐角三角形ABC中，sinB=$\frac{3}{5}$，tanC=3，且S△ABC=20，求BC的长．