题目内容

8.如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P从B出发.沿射线BA方向以每秒1个单位的速度匀速运动.过点P作PQ⊥x轴.直线PQ分别与直线BC、抛物线交于点Q、K.
(1)求线段KQ的长度d与点P运动时间t的函数解析式.
(2)求△CKQ的面积S关于点P运动时间t的函数解析式.

分析 (1)求得直线BC的解析式,根据题意得到Q(t,-$\frac{1}{2}$t+2),K(t,-$\frac{1}{4}$t2+$\frac{1}{2}t$+2),然后分两种情况讨论即可求得;
(2)根据题意得到C到直线PQ的距离,然后根据两种情况讨论即可求得.

解答 解:y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x+2,当x=0时,解得:y=2,所以OC=2;
当y=0时,0=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x+2,解得:x1=-2,x2=4,所以:OA=2,OB=4,
所以:A(-2,0),B(4,0),C(0,2),
(1)设直线BC的解析式为y=kx+b,
代入B、C的坐标得:$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$,
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2,
∵PQ⊥x轴,
运动t秒后,Q(t,-$\frac{1}{2}$t+2),K(t,-$\frac{1}{4}$t2+$\frac{1}{2}t$+2),
∴当0≤t<4时,d=(-$\frac{1}{4}$t2+$\frac{1}{2}t$+2)-(-$\frac{1}{2}$t+2)=-$\frac{1}{4}$t2+t;
当t≥4时,d=(-$\frac{1}{2}$t+2)-(-$\frac{1}{4}$t2+$\frac{1}{2}t$+2)=$\frac{1}{4}$t2-t;
故线段KQ的长度d与点P运动时间t的函数解析式为d=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{t}^{2}+t(0≤t<4)}\\{{\frac{1}{4}t}^{2}-t(t≥4)}\end{array}\right.$;
(2)当0≤t<4时,C到直线PQ的距离为(4-t),
∴S=d(4-t)=(-$\frac{1}{4}$t2+t)(4-t)=$\frac{1}{4}$t3-2t2+4t;
当t≥4时,C到直线PQ的距离为(t-4),
S=d(t-4)=(-$\frac{1}{4}$t2+t)(t-4)=-$\frac{1}{4}$t3+2t2-4t;
故△CKQ的面积S关于点P运动时间t的函数解析式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{3}-2{t}^{2}+4t(0≤t<4)}\\{-\frac{1}{4}{t}^{3}+2{t}^{2}-4t(t≥4)}\end{array}\right.$.

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点,待定系数法求一次函数的解析式,分类讨论思想的运用是解题的关键.

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