Question

已知抛物线y=x²+bx+c与直线y=x+3交于点（m，4）、（-2，n），若上下平移后使得抛物线与y=x+3只有一个交点，求平移后的解析式．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：几何变换

分析：先利用直线y=x+3确定抛物线y=x²+bx+c与直线y=x+3交点坐标为（1，4），（-2，1），再利用待定系数法求出抛物线解析式为y=x²+2x+1，配成顶点式为y=（x+1）²，根据抛物线上下平移规律，可设抛物线解析式为y=（x+1）²上下平移后的抛物线解析式为y=（x+1）²+m，然后利用根据二次函数与一次函数交点问题得到

y=(x+1)2+m y=x+3

只有一组解，再把方程组的解的问题转化为一元二次方程解的问题，最后根据根判别式的意义得到关于m的方程，解方程求出m的值，从而得到平移后的抛物线解析式．

解答：解：把点（m，4）、（-2，n）分别代入y=x+3得m+3=4，-2+3=n，
解得m=1，n=1，
则抛物线y=x²+bx+c与直线y=x+3交点坐标为（1，4），（-2，1），
把（1，4），（-2，1）代入y=x²+bx+c得

1+b+c=4 4-2b+c=1

，
解得

b=2 c=1

，
所以抛物线解析式为y=x²+2x+1=（x+1）²，
设抛物线解析式为y=（x+1）²上下平移后的抛物线解析式为y=（x+1）²+m，
因为抛物线y=（x+1）²+m与y=x+3只有一个交点，则

y=(x+1)2+m y=x+3

只有一组解，
所以关于x的方程x²+x+m-2=0有相等的实数解，则△=1-4（m-2）=0，解得m=

9

4

，
所以平移后的抛物线解析式为y=（x+1）²+

9

4

．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．