Question

19．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且BF是⊙O的切线．
（1）求证：∠BAC=2∠CBF；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠CBF=$\frac{2}{5}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据圆周角的性质求得AE⊥BC，根据等腰三角形的性质三效合一的性质得出∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}∠$BAC，然后根据弦切角定理得出∠CBF=∠BAE=$\frac{1}{2}∠BAC$；
（2）连接BD，由⊙O的半径为5，解出AC=AB=10，根据勾股定理求出BC=2BE=8，在根据勾股定理列方程求解．

解答 （1）如图1，证明；连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠CBF-∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAC=2∠CBF；

（2）解：如图2，连接BD，
∵AB=AC=2OB=10，
∵sin∠CBF=$\frac{2}{5}$，
∴∠BAE=$\frac{2}{5}$，
∴BE=4，
∴BC=2BE=8，
设CD=x，则AD=10-x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠BCD=90°，
∴8²-x²=10²-（10-x）²，
解得：x=$\frac{16}{5}$，
∴CD=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理弦切角定理，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形．