Question

15．耩（jiǎng）子是一种传统农用播种的工具，大小款式不一，图（1）是改良后有轮子的一种，图（2）是其示意图，现测得AC=40cm，∠C=30°，∠BAC=45°．为了使耩子更牢固，AB处常用粗钢筋制成，则制作此耩子时需要准备多长的粗钢筋？（结果保留根号）

Answer 1

分析 过点B作BD⊥AC于D．设BD=x，在Rt△ABD中和Rt△CBD中，分别求出AB和CD的值，再利用条件AD+CD=AC，即x+$\sqrt{3}$x=40，解方程求出x的值，进而求出AB的值．

解答 解：过点B作BD⊥AC于D．设BD=x，
在Rt△ABD中，∠BAC=45°，
∴BD=AD=x，AB=$\sqrt{2}$x，
在Rt△CBD中，∠ACB=30°，
∴CD=$\sqrt{3}$x，
∵AD+CD=AC，
∴x+$\sqrt{3}$x=40，
∴x=20$\sqrt{3}$-20，
∴AB=$\sqrt{2}$x=20$\sqrt{6}$-20$\sqrt{2}$．
答：制作此耩子时需准备（20$\sqrt{6}$-20$\sqrt{2}$）cm的粗钢筋．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．