Question

6．如图，经过原点的抛物线y=-x²+mx（m＞2）与x轴的另一交点为A，过点P（1，$\frac{m}{2}$）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．连接CB，CP，CA，要使得CA⊥CP，则m的值为3．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥x轴于点D，可以证得∠BCP=∠DCA，进而可得△CBP∽△CDA，利用△CBP∽△CDA得到对应边的比相等，即可求出m的值．

解答 解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵∠BCP+∠PCD=90°，∠DCA+∠PCD=90°，
∴∠BCP=∠DCA，
又∵∠CBP=∠CDA=90°
∴△CBP∽△CDA
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{DA}{BP}$
在y=-x²+mx中，
令x=1，则y=m-1
∴B（1，m-1）
又∵对称轴x=$-\frac{m}{2×（-1）}=\frac{m}{2}$
∴BC=2（$\frac{m}{2}$-1）=m-2，
∴C（m-1，m-1），
∴CD=m-1，BC=m-2，DA=OM=1，BP=$\frac{m}{2}$-1，
∴$\frac{m-1}{m-2}=\frac{1}{\frac{m}{2}-1}$，
∴m=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查二次函数的综合题，解题的关键是做出辅助线，利用数形结合证得△CBP∽△CDA．