Question

在等腰直角△ABC中，∠C=90°，M为斜边AB的中点，N为直角边AC的中点，过点C作CH⊥BN，证明：CH²=AH•MH．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：

分析：连接CM、MN，可得CM⊥AB，然后根据∠AHB=∠CMB=90°证明H、C、B、M四点共圆，继而根据四点共圆可证得∠MHN+∠NAM=180°，即可得出A、N、M、H四点共圆，然后根据∠AHN=∠BHM，∠ANH=∠BMH证明△ANH∽△BMH，根据三角形的相似得出HN•HB=AH•HM，继而可证得CH²=AH•MH．

解答：解：连接CM、MN，
∵点M为AB中点．△ABC为等腰直角三角形，
∴CM⊥AB，
∴∠AHB=∠CMB=90°，
∴H、C、B、M四点共圆，
∴∠MHB=∠MCB=45°，∠HMC=∠BC，
∴∠MHN=180°-∠MHB=135°，
∵∠NAM=45°，
∴∠MHN+∠NAM=180°，
∴A、N、M、H四点共圆，
∴∠AHN=∠AMN=45°，
∴∠AHN=∠BHM，
∵MN∥BC，
∴∠MNH=∠HBC，
∵∠ANH=90°+∠MNH，∠HMB=90°+∠HMC，
∴∠ANH=∠BMH，
∴△ANH∽△BMH，
∴HN•HB=AH•HM，
在Rt△BCN中，
∵CH²=HN•HB，
∴CH²=AH•MH．

点评：本题考查了四点共圆的知识，关键是根据角的变换证得四点共圆，以及利用相似三角形的性质得出HN•HB=AH•HM，难度较大．