Question

2．如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一点，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°到△ADF的位置．已知AF=5，BE=13
（1）求DE的长度； 
（2）BE与DF是否垂直？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得DF=BE=13，AE=AF=5，再在Rt△ADF中利用勾股定理可计算出AD=12，所以DE=AD-AE=7；
（2）延长BE交DF于H，根据旋转的性质得∠ABE=∠ADF，由于∠ADF+∠F=90°，则∠ABE+∠F=90°，根据三角形内角和定理可计算出∠FHB=90°，于是可判断BH⊥DF．

解答 解：（1）∵△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴DF=BE=13，AE=AF=5，
在Rt△ADF中，∵AF=3，DF=13，
∴AD=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴DE=AD-AE=12-5=7；
（2）BE与DF垂直．理由如下：
延长BE交DF于H，
∵△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴∠ABE=∠ADF，
∵∠ADF+∠F=90°，
∴∠ABE+∠F=90°，
∴∠FHB=90°，
∴BH⊥DF．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．