Question

9．如图，正方形ABCD的顶点C，D在反比例函数y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的图象上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形EFDG，顶点G在反比例函数y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的图象上，顶点E在x轴的正半轴上，则点G的坐标为（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2）．

Answer 1

分析 作CP⊥y轴于P，DQ⊥x轴于Q，GM⊥x轴于M，GN⊥DQ于N，设C（a，$\frac{8}{a}$），则CP=a，OP=$\frac{8}{a}$，易得Rt△CBP≌Rt△BAO≌Rt△ADQ，则OB=PC=AQ=a，所以OA=BP=DQ=$\frac{8}{a}$-a，则D的坐标为（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），然后把D的坐标代入反比例函数y=$\frac{8}{x}$，得到a的方程，解方程求出a，得到D的坐标；设G的坐标为（b，$\frac{8}{b}$），易得Rt△DGN≌Rt△EGM，则GM=GN=QM=$\frac{8}{b}$，通过OM=OQ+QM=4+$\frac{8}{b}$=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到G的坐标．

解答 解：作CP⊥y轴于P，DQ⊥x轴于Q，GM⊥x轴于M，GN⊥DQ于N，如图所示，

则∠CPB=90°，
∴∠CBP+∠PCB=90°，
设C（a，$\frac{8}{a}$），则CP=a，OP=$\frac{8}{a}$，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴∠PCB=∠ABO，
在△CBP和△BAO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CPB=∠BOA}\\{∠PCB=∠ABO}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CBP≌△BAO（AAS），
∴OB=PC=a，
同理：PC=AQ=a，
∴OA=BP=DQ=$\frac{8}{a}$-a，
∴OQ=a+$\frac{8}{a}$-a=$\frac{8}{a}$，
∴D的坐标为（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），
把D的坐标代入y=$\frac{8}{x}$（x＞0），
得：（$\frac{8}{a}$-a）•$\frac{8}{a}$=8，
解得：a=-2（不合题意，舍去），或a=2，
∴D（4，2），
设G的坐标为（b，$\frac{8}{b}$），
∵四边形DGEF为正方形，
同理可证：△DGN≌△EGM，
∴GM=GN=QM=$\frac{8}{b}$，
∴OM=OQ+QM=4+$\frac{8}{b}$，
∴4+$\frac{8}{b}$=b，
解得：b=2+2$\sqrt{3}$，或b=2-2$\sqrt{3}$（不合题意，舍去），
∴$\frac{8}{b}$=2$\sqrt{3}$-2，
∴点G的坐标为：（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2）；
故答案为：（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2）．

点评 本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．