一般地.在Rt△ABC中.∠C=90°.我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦.记作“sinA .即$sinA=\frac{∠A的对边}{斜边}$．类似的.我们定义:在等腰三角形中.底边与腰的比叫做顶角的正对．如图1.在△ABC中.AB=AC.顶角A的正对记作sadA.即sadA=$\frac{底边}{腰}=\frac{BC}{AB}$．根据上述角的正� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．一般地，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作“sinA”，即$sinA=\frac{∠A的对边}{斜边}$．类似的，我们定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对．如图1，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，即sadA=$\frac{底边}{腰}=\frac{BC}{AB}$．根据上述角的正对定义，完成下列问题：
（1）sad60°=1；
（2）已知：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{3}{5}$，试求sadA的值；
（3）已知：如图3，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（$4\sqrt{2}$，0），点C为线段AB上一点（不与点B重合），且$AC≥\frac{1}{2}AB$，以AC为底边作等腰△ACP，点P落在直线AB上方，
①当sad∠APC=$\frac{2}{3}$时，请你判断PC与x轴的位置关系，并说明理由；
②当 sad∠APC=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$时，请直接写出点P的横坐标x的取值范围．

分析（1）根据题意可知，sad60°为顶角为60°的等腰三角形的正对，从而可以求得sad60°的值；
（2）根据Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{3}{5}$，构造以∠A为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题．
（3）①结论：PC⊥x轴，只要证明∠OAB=∠PCE即可．
②如图4中，分别求出当点C是AB中点时，点P横坐标；当点C′与B重合时，点P′的横坐标，即可解决问题．

解答（1）∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，
∴sad60°=$\frac{底边}{腰}$=$\frac{1}{1}$=1．
故答案为：1．

（2）如图2中，设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，在AB上截取AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴DE=AD•sinA=4a×$\frac{3}{5}$=$\frac{12}{5}$a，AE=AD•cosA=4a×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$a．
∴CE=AC-AE=4a-$\frac{16}{5}$a=$\frac{4}{5}$a．
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{5}a）^{2}+（\frac{12}{5}a）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$a，．
∴sadA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{10}}{5}a}{4a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即sadA=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

（3）①结论：PC⊥x轴，
理由：如图3中，作PE⊥AC于E．
∵PA=PC，
∴AE=EC，
∵sadAPC=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{2EC}{PC}$=$\frac{2}{3}$，
∴cos∠PCE=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{1}{3}$．
在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=2，OB=4$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}（4\sqrt{2}）^{2}}$=6，
∴cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴cos∠PCE=cos∠OAB，
∴∠OAB=∠PCE，
∴PC∥y轴，
∴PC⊥x轴．

②如图4中，当点C是AB中点时，作PE⊥AB于E，交x轴于M．作PN⊥x轴于N．
∵sad∠APC=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{2EC}{PC}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{1.5}{PC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴PC=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，PE=$\sqrt{P{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∵∠EBM=∠ABO，∠MEB=∠AOB=90°，
∴△BEM∽△BOA，
∴$\frac{EB}{BO}$=$\frac{EM}{AO}$=$\frac{BM}{AB}$，∠EMB=∠OAB，
∴EM=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$，BM=$\frac{21\sqrt{2}}{8}$，
∴PM=PE+EM=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，OM=OB-MB=$\frac{11\sqrt{2}}{8}$，
∵∠PNM=∠AOB，∠PMN=∠OAB，
∴△PNM∽△BOA，
∴$\frac{PM}{AB}$=$\frac{MN}{AO}$，
∴MN=$\frac{5\sqrt{2}}{12}$，
∴ON=$\frac{43\sqrt{2}}{24}$，
∴点P的横坐标为$\frac{43\sqrt{2}}{24}$，
当点C′与B重合时，作P′K⊥OB，PG⊥AB于G交OB于H．
∵sad∠AP′B=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{AB}{P′B}$=$\frac{2GB}{P′B}$，
∴P′B=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，P′G=$\sqrt{P′{B}^{2}-G{B}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
由△BGH∽△BOA得到，$\frac{GH}{AO}$=$\frac{GB}{BO}$=$\frac{BH}{AB}$，
∴GH=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，BH=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，OH=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∴P′H=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
由△P′KH∽△BOA得到，$\frac{HK}{AO}$=$\frac{P′H}{AB}$，
∴HK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OK=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴点P′的横坐标为$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
∴当 sad∠APC=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$时，点P的横坐标x的取值范围为$\frac{43\sqrt{2}}{24}$≤x＜$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．