Question

3．如图，已知在正方形ABCD中，AC与BD交与点O，E、F分别是AB、BC上的点，当点E、F在相同的时间、以相同的速度分别在AB、BC上从点A向B和从点B向C方向移动，是判断在E、F移动的期间：
（1）DG与AH是否保持某种不变的关系；若能请证明你的结论；若不能也请简单说明理由；
（2）判定DE与AF的位置关系，GH与DC的位置关系也仿照（1）加以讨论．

Answer 1

分析 （1）结论：DG=AH，且DG⊥AH．由△DAE≌△ABF，推出∠ADG=∠BAH，再证明△ADG≌△ABH，推出DG=BH，由∠BAH+∠HAD=90°，∠BAH=∠ADG，推出∠HAD+∠ADG=90°，推出∠APD=90°，即可解决问题．
（2）①结论：DE⊥AF．（1）中已经证明．②结论：GH∥CD．由△AOH≌△DOG，推出OG=OH，推出∠OGH=∠OHG=45°，由∠OCD=45°，推出∠HGO=∠OCD，推出GH∥CD即可．

解答 解：（1）结论：DG=AH，且DG⊥AH．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，
在△DAE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAE=∠ABF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF，
∴∠ADG=∠BAH，
∵∠DAG=∠ABH=45°，
在△ADG和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠BAH}\\{AD=AB}\\{∠DAG=∠ABH}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABH，
∴DG=BH，
∵∠BAH+∠HAD=90°，∠BAH=∠ADG，
∴∠HAD+∠ADG=90°，
∴∠APD=90°，
∴DG⊥AH．

（2）①结论：DE⊥AF．
理由：由（1）可知：DE⊥AF，
②结论：GH∥CD．
理由：∵∠APD=∠AOD=90°，∠AGP=∠DGO，
∴∠PAG=∠GDO，
在△AOH和△DOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAH=∠GDO}\\{∠AOH=∠DOG}\\{AH=DG}\end{array}\right.$，
∴△AOH≌△DOG，
∴OG=OH，
∴∠OGH=∠OHG=45°，
∵∠OCD=45°，
∴∠HGO=∠OCD，
∴GH∥CD．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．