Question

如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

考点：勾股定理,勾股定理的逆定理

专题：动点型

分析：（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；
（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，首先计算出CP的长，然后再利用勾股定理计算出AP长，进而可得答案．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2cm，
∵∠C=90°，
∴PB=

22+32

=

13

cm，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+

13

=7+

13

（cm）；

（2）∵AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴P在AC上运动时△BCP为直角三角形，
∴0＜t≤4，
当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，
∵

1

2

×AB×CP=

1

2

×AC×BC，
∴

1

2

×5×CP=

1

2

×3×4，
解得：CP=

12

5

cm，
∴AP=

AC2-CP2

=

16

5

cm，
∴AC+AP=

36

5

cm，
∵速度为每秒1cm，
∴t=

36

5

，
综上所述：当0＜t≤4或t=

36

5

，△BCP为直角三角形；

（3）当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t-3=6，
∴t=2；
当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t-4+2t-8=6，
∴t=6，
∴当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

点评：此题主要考查了勾股定理以及其逆定理等知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．