Question

14．已知抛物线y=x²-2x-8．
（1）试说明该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的左边），且它的顶点为P，求△ABP的面积．

Answer 1

分析 （1）在方程x²-2x-8=0中，根的判别式△=b²-4ac=36＞0，由此即可得出该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）解方程x²-2x-8=（x+2）（x-4）=0即可得出点A、B的横坐标，利用配方法即可得出抛物线的顶点P的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出△ABP的面积．

解答 解：（1）在方程x²-2x-8=0中，
△=b²-4ac=（-2）²-4×1×（-8）=36＞0，
∴方程x²-2x-8=0有两个不相等的实数根，
∴抛物线y=x²-2x-8与x轴一定有两个交点．
（2）解方程x²-2x-8=（x+2）（x-4）=0，
得：x_A=-2，x_B=4．
∵y=x²-2x-8=（x-1）²-9，
∴P（1，-9）．
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•|y_P|=$\frac{1}{2}$×[4-（-2）]×|-9|=27．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据根的判别式△＞0得出抛物线与x轴一定有两个交点；（2）根据三角形的面积求出△ABP的面积．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一元二次方程根的判别式的符号找出抛物线与x轴交点的个数是关键．