Question

7．如图，在△ABC，∠ACB=90°，BC=AC，AE是△ABC的角平分线，延长AC至点F，使FC=EC，连结BF，延长AE交BF于点G．
（1）求证：△ABG∽△BEG．
（2）判断AG与BF的位置关系，并说明理由．
（3）若AE=6，则EG•AG=9．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件证得△ACE≌△BCF，由全等三角形的性质得到∠CAE=∠FBC，根据角平分线的性质得到∠CAE=∠BAE，等量代换得到∠CAE=∠FBC，即可得到结论；
（2）由∠CAE=∠CBF，∠AEC=∠BEG，根据三角形的内角和得到∠BGE=∠ACE=90°，由垂直的定义即可得到结论；
（3）通过△BAG≌△FAG，得到BG=FG=$\frac{1}{2}$BF，由于△ACE≌△BCF，得到BF=AE=6，求得BG=FG=3，根据相似三角形的性质得到$\frac{BG}{AG}=\frac{GE}{FG}$，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：在△ACE与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠CAE=∠FBC，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠CAE=∠FBC，
∵∠BGE=∠AGB，
∴△ABG∽△BEG；

（2）AG⊥BF，
理由：∵∠CAE=∠CBF，∠AEC=∠BEG，
∴∠BGE=∠ACE=90°，
∴AG⊥BF；

（3）在△BAG与△FAG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠FAG}\\{AG=AG}\\{∠AGB=∠AGF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△FAG，
∴BG=FG=$\frac{1}{2}$BF，
∵△ACE≌△BCF，
∴BF=AE=6，
∴BG=FG=3，
∵∠GBE=∠CAE，
∴△BGE∽△FAG，
∴$\frac{BG}{AG}=\frac{GE}{FG}$，
即$\frac{3}{AG}=\frac{GE}{3}$，
∴EG•AG=9，
故答案为：9．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．