Question

2．已知：如图（1），在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，过点C作CF∥AB，P是AD上一点，连接BP并延长，分别与AC，CF交于点E，F．
（1）求证：PB²=PE•PF；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，如图（2），那么（1）中的结论是否成立？请直接写出结论，不需证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到BD=CD，于是得到AD垂直平分BC，由线段垂直平分线的性质得到BP=CP，根据等腰三角形的性质得到∠PBC=∠PCB，于是得到∠ABP=∠ACP，根据平行线的性质得到∠ABP=∠F，等量代换得到∠F=∠ACP，推出△PCE∽△PCF，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）证得∠ABP=∠ACP，由平行线的性质得到∠CFE=∠ABP，于是得到∠ACP=∠CFE，根据邻补角的定义得到∠PCE=∠CFP，推出△CPF∽△PCE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠ACP，
∵AB‖CF，
∴∠ABP=∠F，
∴∠F=∠ACP，
∵∠EPC为公共角，
∴△PCE∽△PCF，
∴$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，
∴PC²=PF•PE
∵BP=CP，
∴BP²=PF•PE；

（2）成立，
由（1）证得∠ABP=∠ACP，
∵CF∥AB，
∴∠CFE=∠ABP，
∴∠ACP=∠CFE，
∴∠PCE=∠CFP，
∵∠CPF=∠CPF，
∴△CPF∽△PCE，
∴$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，
∴PC²=PF•PE
∵BP=CP，
∴BP²=PF•PE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．