Question

8．已知直线l平分∠xOy，△ABC与△A₁B₁C₁关于直线l对称．
（1）在所给的直角坐标系中作出△A₁B₁C₁的图形；
（2）设点A的坐标是（4，2），求点A₁的坐标；
（3）设BC所在的直线的解析式是y=2x-4，求B₁C₁边所在直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）分别作A、B、C关于直线的对称点A₁、B₁、C₁，依次连接各点，得到△A₁B₁C₁即可；
（2）分别过点A、A₁作坐标轴的垂线，证明构成的两个直角三角形全等，进而得出点A₁坐标；
（3）在直线BC上选定两点（2，0）、（0，-4），由（2）得到，得出这两点关于直线l的对称点即可求出解析式．

解答 解：（1）分别作A、B、C关于直线的对称点A₁、B₁、C₁，依次连接各点，得到△A₁B₁C₁；

（2）分别过点A、A₁作坐标轴的垂线A₁M，AD，
∵直线l平分∠xOy，△ABC与△A₁B₁C₁关于直线l对称，
∴AB=A₁B₁，BO=OB₁，MO=DO，
∴B₁M=BD，
在Rt△A₁MB₁和Rt△ADB中
$\left\{\begin{array}{l}{{A}_{1}{B}_{1}=AB}\\{{B}_{1}M=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△A₁MB₁≌Rt△ADB（HL），
∵点A的坐标是（4，2），
∴点A₁（2，4）；

（3）在直线BC上选定两点（2，0）、（0，-4），由（2）得到，这两点关于直线l的对称点分别是（0，2）（-4，0），
设直线B₁C₁边所在直线的解析式为y=ax+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
所以B₁C₁边所在直线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+2．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式和轴对称变换，得出关于直线l的对称点位置是解题关键．