Question

14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y-3，x-2y），它关于x轴的对称点A₁的坐标为（x+3，y-4），关于y轴的对称点为A₂．
（1）求A₁、A₂的坐标；
（2）证明：O为线段A₁A₂的中点．

Answer 1

分析 （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求出x、y的值，从而得到点A的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”写出点A₁的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”写出点A₂的坐标；
（2）设经过OA₁的直线解析式为y=kx，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式，再求出点A₂在直线上，然后利用勾股定理列式求出OA₁=OA₂，最后根据线段中点的定义证明即可．

解答 （1）解：∵点A（2x+y-3，x-2y）与A₁（x+3，y-4）关于x轴对称，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3=x+3}\\{x-2y=-（y-4）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以，A（8，3），
所以，A₁（8，-3），A₂（-8，3）；

（2）证明：设经过O、A₁的直线解析式为y=kx，
易得：y_OA1=-$\frac{3}{8}$x，
又∵A₂（-8，3），
∴A₂在直线OA₁上，
∴A₁、O、A₂在同一直线上，
由勾股定理知OA₁=OA₂=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$，
∴O为线段A₁A₂的中点．

点评 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．