Question

13．（1）填空：3¹-3⁰=2×3^（　　），3²-3¹=2×3^（　　），3³-3²=2×3^（　　），…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）利用上述规律计算：3⁰+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶=$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁷-1），其末位数字是1．

Answer 1

分析 （1）根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解；
（2）根据指数结果幂的指数比等式的序数小1解答；
（3）设S=3°+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶，然后表示出3S，再相减计算即可得解．

解答 解：（1）3¹-3⁰=2×3⁰，3²-3¹=2×3¹，3³-3²=2×3²．
（2）规律：3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，
证明：3ⁿ-3^n-1=3×3^n-1-1×3^n-1=2×3^n-1；
（3）设S=3°+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶，
则3S=3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁷，
所以2S=（3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁷）-（3⁰+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶）=3²⁰¹⁷-1，
S=$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁷-1）
3²⁰¹⁷-1的个位数字是2，
则$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁷-1）的个位数字是1．
故答案为：0，1，2；$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁷-1），1．

点评 本题是对数字变化规律的考查，主要利用了有理数的乘方的计算，难点在于（3）利用整体思想求解．